رفتار آشوبناک

خیلی وقت بود که می خواستم درباره آشوب بنویسم. دیروز پشت در اتاق استادم یک دست نوشته دیدم که شاید موجزترین تعریف از آشوب باشد:

CHAOS: WHEN THE PRESENT DETERMINES THE FUTURE
BUT
THE APPROXIMATE PRESENT DOES NOT APPROXIMATE THE FUTURE

این کلمات به زیبایی مفهوم آشوب را نشان می دهند: هنگامی که اطلاعات زمان حال رفتار آینده سیستم را تعیین می کند، اما اطلاعات "تقریبی" در زمان حال، رفتار تقریب به واقع در آینده را نشان نمی دهد.

یعنی: اگر می خواهید بدانید که در آینده سیستم در چه حال و روزی است، لازم است که اطلاعات اولیه تان را "دقیق" بداند (این "دقت" تعریف ریاضی دارد). آنچه مهم است این است که اطلاعات ما از سیستم  "همیشه"  خطا دارد، بنابراین پیش بینی دقیق وضعیت سیستم در آینده ناممکن است.

تمام کلمات توصیفی فوق معانی و تعاربف دقیق ریاضی دارند.

به تعریف بالا برگردیم، شکل زیر احتمالا منظور تعریف فوق را بهتر بیان می کند.

فرض کنید که شرایط اولیه واقعی سیستم در نقطه آبی (سمت چپ) باشد، اما دانش ما درباره سیستم ناقص است و اندازه گیری ما کمی خطا دارد، پس ما با توچه به امکانات و محدودیت ها، شرایط اولیه سیستم را در نقطه قرمز (چپ) تصور می کنیم. این نقطه می تواند بسیار به شرایط واقعی (آبی) نزدیک باشد، اما هیچ گاه مقدار دقیق و واقعی آن نیست. حال """اگر""" سیستم آشوبناک باشد، مسیر دینامیکی دو نقطه قرمز و آبی در طی زمان به تدریج از هم جدا می شود تا جایی که نقطه قرمز و آبی دیگر هیچ گونه ارتباط معنی داری با هم نخواهند داشت (سمت راست). به کلمه "اگر" دقت کنید، زیرا پیچیدگی رفتار دینامیکی لزوما به معنی رفتار آشوبناک نیست.

آنچه در بالا نوشته ام در واقع اساس تئوری آشوب در سیستم های دینامیکی است.

اینکه چطور بفهمیم که یک سیستم آشوبناک است، خود داستان دیگری است که تعاریف و مفاهیم ریاضی خود را دارد، از قبیل عدد لیاپونوف و ... و باز هم مثنوی هفتاد من است حکایت تشخیص سیگنال زمانی آشوبناک از سیگنال زمانی پیچیده اما غیرآشوبناک.

و هنوز هم تعاریف دقیق برای سیستم هایی که بر اساس مدل ها و معادلات مشتقات جزئی کنترل می شوند وجود ندارد و همه تعاریف تقریبا برای سیستم معادلات دیفرانسل معمولی است.

مثلا اثر پروانه ای (که تمثیلی برای جریانهای اتمسفری درباره حساسیت سیستم به شرایط اولیه است) درباره اتسفر و جریانات اتمسفری گفته شده (اینکه بال زدن پروانه ای در جایی از دنیا سبب توفانی در جای دیگر شود)، اما تمام ادعا بر اساس مدل های ساده سازی شده اتمسفر و در چارچوب ODE ها هستند، (مثلا معادلات دیفرانسیل سه تایی فوق العاده معروف و محبوب لورنز) و هنوز هیچ تئوری دقیق و جامعی درباره سیستم های مدل شده با PDE ها وجود ندارد.

پی نوشت: این را هم اضافه کنم که اثر رفتار آشوبناک در سسیتم های اتمسفری-اقیانوسی (حساسیت به شرایط اولیه و فاصله گرفتن مسیرهای واقعی و نتایج شبیه سازی از یکدیگر) کاملا "دیده" می شود، اما تئوری دقیقی برای آن در دسترس نیست.

عکس زیر مسیر و نواحی احتمالی را نشان می دهد که بر اساس محاسبه برای توفان سندی بدست آمده بود، دقت کنید که هر قدر جلوتر می رویم، ناحیه احتمالی مسیر توفان بازتر می شود و دانسته های ما درباره مسیر واقعی کمتر.